Compléxité des jeux de domino, belote et autres

Est-ce que dans une vie on peut rejouer plusieurs fois une même partie de domino ou de cartes (bridge, belote...) ?

Pour répondre essayons de déterminer quel est le nombre de distributions des cartes (des fiches, des pions, ...) différentes possibles entre les joueurs.

Petits rappels

Pour faire ces calculs nous avons besoin de 2 outils : les factorielles et les combinaisons.
Factorielle n - notée n! - est le produit 1*2*3*...*(n-1)*n. Par exemple 6!=1*2*3*4*5*6=.
Les combinaisons donnent le nombre de tirages différents de k éléments parmi n, et est appelé C(k, n). Il vaut n!/k!(n-k)!.
Enfin s'il y a p1 possibilités pour un choix c1, et p2 pour un choix c2, le nombre total de possibilités est leur produit p1*p2.

Application à notre jeu

Dans le cas de la distribution de n cartes entre les joueurs, le nombre de distributions différentes est donc le produit des p_j=C(k, n_j) de chaque joueur j. S'il y a 32 cartes réparties entre 4 joueurs :

• le premier joueur tire 8 cartes parmi 32 : p1=C(8, 32)
• le deuxième joueur tire 8 cartes parmi les 24 restantes : p2=C(8,24)
• le troisième tire 8 cartes parmi 16 : p3=C(8,16)
• et enfin le 4ème prend les 8 cartes restantes : p4=C(8, 8) (qui est égal à 1).

Le nombre total de combinaisons est donc :
p1 * p2 * p3 * p4 = C(8,32) * C(8,24) * C(8,16) * C(8,8) = .
À raison de 20 parties par jour il faudrait pour jouer toutes ces parties !

Conclusion

NON, il est très improbable de rejouer 2 fois une même partie !!!! Par ailleurs ceci est juste le nombre de distributions de départ ! Il faut tenir compte de ce que va jouer chaque joueur pour calculer le nombre de parties différentes, ceci sera l'objet d'un autre billet.

Autres jeux

jeu	Nb joueurs	Nb cartes par joueurs	Nb cartes	Nb distributions
Belote Bridge Domino Domino cubain (9)

Compléments

Factorielles

7! = . Essayer une autre valeur : n= n!=---
En savoir plus (wikipedia)

Combinaisons

C(4,8) : . Essayer une autre valeur : k= n= C(k,n)=---
En savoir plus (wikipedia)

Distributions

Nombres de distributions pour un jeu de belote (4 joueurs, 32 cartes):
Nombres de distributions pour un jeu de domino (4 joueurs, 28 fiches):
Nombres de distributions pour un jeu avec joueurs, et cartes/fiches C(k,n)=---