Stèle Raimondi

La Stèle Raimondi, exposée au musée national d'archéologie, d'anthropologie et d'histoire de Lima, provient de Chavín de Huántar. En pierre, haute d'environ trois mètres, elle présente un nouveau personnage, le « nouveau dieu » de Chavín, dit « dieu souriant », ou « dieu aux bâtons ». En position bipède, avec des griffes aux mains et aux pieds et des crocs jaillissant de sa bouche, il tient en effet deux bâtons ou sceptres. Au-dessus de sa tête est représentée sa coiffe, qui normalement tombe dans son dos, et semble composée de têtes humaines imbriquées les unes dans les autres, invitant à une double lecture. https://fr.wikipedia.org/wiki/Art_des_Andes_centrales

Type : Stèle

Culture : Chavín

Époque : [?, ?]

Dimensions : 2m98 x 74 cm x 17 cm

Matériau : Granite

Lieu actuel : Museo Nacional de Arqueología Antropología e Historia del Perú, Lima, Pérou

Lieu de découverte : Chavín de Huántar, Pérou

Lien : http://digitalcommons.library.umaine.edu/

Grands nombres palindromes

Dans son article sur les nombres palindromes du Pour la Science n°480, Jean-Paul Delahaye nous lance un défi de voir si l'on pouvait repousser les limites du plus grand nombre palindrome construit à partir de N chiffres et des 4 opérations + - * /.

Un nombre palindrome est un nombre « miroir », il a la même valeur lu de gauche à droite ou de droite à gauche : 9, 727, 12321, ...

Les records précédents, listés sur le site de Erich Friedman (Math and Computer Science Department at Stetson University, Floride) étaient les suivants, trouvés par Erich Friedman :

Nb chiffres	Formule	Plus grand palindrome
12	7×8×8×8×8×9 × (4×7×7×9×9−3)	4095995904
13	7×7×7×7×7×8 × (7×7×7×8×8×8+6)	23613431632
14	9×9×9×9×9×9 × (9×9+2) × (4×7×7×8−6)	68899199886
15	7×7×7×7×8×8×8×8×8 × (2+9) × (9×9×9+3)	633498894336

En cherchant en brute force on est vite limité : pour passer de N à N+1, on ajoute un chiffre et un opérateur en plus ce qui multiplie par 9×4=36 la complexité. Pour 15 chiffres cela ferait 9¹⁵×4¹⁴=55268479930183339474944 soit près de 10²³ possibilités à parcourir...

Une autre technique consiste à penser chaque résultat comme la combinaison de 2 résultats, chacuns pouvant être eux-mêmes le résultat de 2 résultats, etc.
Notons n_i un nombre combinaison de i chiffres; 72 est un n₂ car 8×9=72, 82 est un n₃ car 9×9+1=82. Par exemple pour N=13 on a le produit d'un n₆ et un n₇ : le n₆ A=7×7×7×7×7×8, et le n₇ B=(7×7×7×8×8×8+6). A et B étant eux mêmes composés de 2 éléments n_x : A est le produit de deux n₃ (7×8×8)×(8×8×9) et B est le produit d'un n₅ et d'un n₁ :(4×7×7×9×9)−(3). Chacun peu à nouveau se décomposer jusqu'à des n₁.
Donc en stockant tous les n₂, on peut les réutiliser pour calculer tous les n₃, etc.
Remarque : dans notre cas on cherche le palindrome le plus grand, donc on ignorera la division, car tout n_i / x est un n_j avec j<i.
Voici le nombre de n_i , comparé au nombre de combinaisons possibles :

i	Nombre de ni	Nombre de combinaisons ci de i chiffres (9i×3i−1)	%age ni / ci
2	30	243	12.3456789012%
3	155	6561	2.3624447493%
4	739	177147	0.4171676630%
5	3665	4782969	0.0766260455%
6	16807	129140163	0.0130145414%
7	76117	3486784401	0.0021830142%
8	363831	94143178827	0.0003864656%
9	1764050	2541865828329	0.0000006939%
10	8331952	68630377364883	0.0000001214%

On peut alors parcourir l'arbre de recherche considérablement rétréci, et finir par trouver en 2h de calcul tous les n₁₃ (et donc le plus grand palindrome parmi ceux-ci), puis les n₁₄, et les n₁₅ en quelque 8h de calcul sur un simple PC. Voici donc les nouveaux résultats que j'ai obtenu, courant 2017 :

Nb chiffres	Formule	Plus grand palindrome	Date
13	9×9×9×9×9×9 × (6×7×7×7×7×9−8)	68899199886	10/2017
14	(9×9×9×9×9×5+4) × (8×8×8×8×9×9−5)	97955055979	10/2017
15	((5×9×9×9×9×9−7)×7) × ((8×9×9×9×9−7)×8)	867685586768	10/2017
16	((7×7×7×7×7×8−5)×4) × (9×8×8×8×8×8×8×7)	8881871781888	10/2017
17	(8×8×8×8×8×(9×9×7+2)) × ((9×9×9×9×8×7+6)×9)	61655222255616	10/2017
18	(8×8×(8×8×8×8×8×7+1)) × (9×(9×9×9×9×9×9×9−1))	631931242139136	10/2017
19	(6×8×8×8×8×8×8×9×9+5) × (9×8×8×(7×8×8×8×9+7))	2367573333757632	10/2017
20	(8×8×8×8×8×9×9×9×9+3) × (9×9×7×(6×9×9×9×9×9+8))	43189347374398134	10/2017
21	((8×8×8×8×8×9×9×9+5)×7×9) × (2×8×8×9×9×9×9×9×9+3)	86925062526052968	10/2017
22	(6×9×9×9×9×9×9×9×9+3)×9 × ((7×7×7×7×9×9×9+7)×7×9×9)	2306950757570596032	10/2017
23	((8×8×8×9×9×9×9×9×9×9-1)×9) × ((7×9×9-2)×9×9×9×9×9×9-3)	6617798452548977166	11/2017
24	((7×9×9×9×9×9×9−8)×9×9×9×9) × (((6×8×8×8×8×8+5)×8×9×9+1)×9)	9539972462642799359	11/2017

Le programme décrit donne non pas la formule mais la valeur du palindrome et seulement la dernière opération qui y a mené (une multiplication entre un n_i et un n_j). Il faut donc retrouver la décomposition de chacun. Un autre programme parcourt les possibilités qui y mènent.

La porte est ouverte pour d'autres records...

Coïncidences archéologiques transatlantiques

Quelle ne fut pas ma surprise en tombant sur les images de cette pierre à la forme singulière prises en Egypte (vue ici) :

Elle m'a immédiatement rappelé une pierre étrange déjà vue...à 11000 km de là, à Tiwanaku en Bolivie !!!

distance Bolivie - Egypte

Tiwanaku, zone Kantatallita - Source

Tiwanaku, zone Kantatallita - Source

Je n'ai pas d'idée à quoi pouvait servir cette pierre à la forme si particulière et quelle était la fonction de cette partie courbe si différente des autres, à vous de juger de la ressemblance entre les deux...

Cette pierre est en andésite grise, son autre côté révèle un aspect complètement différent (et explique son appellation de "Linteau Kantatallita"), car des dessins y sont sculptés, et elle pourrait effectivement faire penser penser à une porte :

Source

Source

En plus de la forme, la précision avec laquelle elle est taillée rappelle certains blocs de Tiwanaku (et de Puma Punku tout proche)...

Tiwanaku, zone Kantatallita

Puma Punku, Source

Un mystère de plus à Tiwanaku (à part les pierres aimantées dans différentes directions, des pierres avec des trous en forme d'oreille pour écouter à distance, des pierres de plus de 100 tonnes et celles en "H" de PumaPunku, une pyramide souterraine, des agrafes métalliques pour lier des blocs de pierre (vues aussi en Egypte), etc...), bref si vous avez l'occasion d'aller en Bolivie, ne ratez pas la visite de Tiwanaku ! ou bien sinon vous pouvez vous y promener grâce à google street view).
Et si vous avez croisé d'autres pierres à la forme similaire ou avez des idées sur ce à quoi elle servait merci de partager :)

Anciens mégalithes : méga mystères

mégalithes,

méga mystères

Face à la pyramide de Khéops, aux blocs de pierre colossaux de Baalbek, à ceux parfaitement ajustées de Ollantaytambo, ou aux pierres taillées uniques et mystérieuses de Tiwanaku on se sent tout petit, admiratif, et rempli de questions : comment dans les temps anciens - avec des outils simples - l'homme a pu construire de tels sites ?

Préambule

Attention quelques personnes profitent de ces zones d'ombre pour proposer des théories en avançant de gros mensonges (en exagérant le poids des pierres ou leur dureté, cf video explicative ici), et d'autres s'amusent à brouiller les pistes en créant de faux objets / de fausses images de toute pièce (loch Ness, faux géants,...). Bref toutes les théories sont acceptables (extra-terrestres, Anunnakis, géants, légendes,...), tant qu'elles n'abusent pas de la crédulité des gens :)

Ce qui parait incroyable c'est que dans le monde entier cette capacité à déplacer/tailler des blocs énormes de pierre s'est développée : au Liban, au Pérou, en Bolivie, en Égypte, ...allons en découvrir quelques-uns plus en détail.

«Les photos présentent sur ce site sont garanties vraies (peu photoshopées).» G. Bodgdanoff

Contexte historique

Un petit graphique pour resituer les différentes civilisations dont on parle :

Baalbek

A Baalbek au Liban (ex Héliopolis romaine) des blocs de plus de 1000 tonnes ont été répertoriés (wikipedia). On y a trouvé le plus gros bloc taillé. Le podium du temple de Jupiter est constitué de blocs énormes de calcaire, dont il reste 27 exemplaires. Trois d'entre eux, de plus de 1000 tonnes chacun sont appelés le “Trilithon”.

Qui a pu tailler et déplacer ces blocs ?
Certains pensent qu'il peut s’agir d'une culture antérieure à Alexandre le grand (qui a fondé Heliopolis en 334 av J-C.) : son mode de déplacement et de mise en place restent un mystère (+ d'infos ici)...

Bloc de calcaire de plus de 1000 tonnes, Baalbek, Liban

Ollantaytambo

Photo de R. Zamprogno

Au Pérou, entre Cuzco et le Machu Picchu se situe le site d'Ollantaytambo, qui comporte entre autres dans la partie supérieure 6 mégalithes (+ de 50 tonnes) restants (il y en avait plus avant), qui se joignent parfaitement pour former le "temple du soleil". Comment sont ils arrivés là et ont-ils été assemblés ? Tout ce qu'on sait c'est qu'ils ont été extraits de la montagne d'en face...à 6 km, ont traversé la rivière Vilcanota et été remontés de 50 m.
On se sait pas s'ils sont pré-incas..., + d'infos ici.

Tiwanaku

Tiwanaku, la porte du soleil, 24 figures de chaque côté du
dieu pleureur, Tunupa (Wiracocha pour les Incas)

Ce site très mystérieux en Bolivie près du lac Titicaca à plus de 3800 m d'altitude date selon certains de 13000 ans avant notre ère (Arthur Posnansky), d'autres de 1200 av JC, d'autres penchent pour le début de notre ère. Bon tout le monde est d'accord sur le fait qu'il date d'avant les Incas. Et qu'il est unique. Certains blocs sont énormes (monolithe de plus de 20 tonnes ici), certains sont reliés entre eux par des agrafes métalliques, d'autres sont travaillés parfaitement et sont aussi lisses qu'une paillasse de cuisine. Des blocs aux formes géométriques complexes (cf les blocs en H ci-dessous) semblent sortir d'un moule tellement ils sont bien travaillés (ce qui n'est en fait pas le cas, ce sont bien des blocs de roche taillée (video)).

La gestion de l'eau sur l'ensemble du site est très poussée avec des gouttières en pierre elles aussi parfaitement taillées destinées à évacuer l'eau de pluie de manière ingénieuse autour de la pyramide centrale.

Le site est aligné pour certains endroits sur le solstice, d'autres sur les points cardinaux.

Bref le site démontre une connaissance avancée en astronomie, sculpture, métallurgie, hydrologie...ça fait beaucoup ! Connaissances acoustiques aussi, puisque 2 pierres sont percées d'un trou en forme de conduit d'oreille et agissent comme un mégaphone !

Et un tout petit pourcentage du site a été fouillé ce qui laisse imaginer d'autres découvertes majeures...

Tiwanaku, monolithe "Bennett", 7 m de haut, 20 t.

     Tiwanaku / Puma Punku : blocs en H, empreinte d'agrafe métallique

Comparatif de mégalithes

Voici un tableau récapitulatif de quelques monuments mégalithiques célèbres choisis subjectivement et de leur poids respectif :

Monument, Lieu	Période	Détail	Poids	Réf.
Baalbek, Liban	? < -300	Bloc en cours d'extraction. Un autre bloc (dit de la femme enceinte) fait 1200 t., un autre encore 1100 t.)	1650 t.	go
Obélisque inachevé, Égypte	-1500	Obélisque inachevé trouvé de 42m de long dans les carrières d'Assouan	1200 t.	go
Axum, Ethiopie	200	Obélisque de basalte, 33m, sculpté33m de haut, maintenant brisé).	600 t.	go go
Obélisque de Louxor, Égypte	-1200	Obélisque fait a Assouan, maintenant à Paris, 23m de haut, composé de syénite (proche du granite sans quartz).	222 t.	go
Sacsayhuaman, Pérou	? < 1400	Plus gros bloc du zigzag de cette forteresse gigantesque au dessus de Cuzco.	200 t.	go
Statue de Tlaloc, Mexique	-500 ? 800 ?	Plus grand mégalithe d'Amérique. Fait en andesite.	167 t.	go
Menhir de Kerloas, France	-3000	Plus grand menhir debout (9m50 de haut). Composé de granite.	150 t.	go
Tiwanaku, Bolivie	? -2200	Plus gros bloc de Puma Punku	131 t.	go
Pyramide de Khéops, Égypte	-2550	Chevrons au dessus de la chambre du roi	70 t.	go
Ollantaytambo, Pérou	1450	Bloc du temple du soleil, composé de porphyre rouge. Fait partie de 6 blocs, parfaitement joints sans ciment. Extrait du versant d'en face...	70 t.	go
Stonehenge, Angleterre	-2800	Pilier du grand trilithe central. Extrait 40km plus au nord.	50 t.	go

Statue de Tlaloc, Mexique, 167 t.

Au sol : obélisque d'Axum, Ethiopie (33 m, 600 t.)

Conclusion

La science n'est pas infuse, elle s'est trompé par le passé (la Terre n'est pas au centre de l'univers, le Kon Tiki a bien traversé le Pacifique, le cœlacanthe n'a pas disparu il y a 300 millions d'années,...), elle utilise parfois des noms abusifs (temple du soleil, chambre du roi, ...), mais elle ne peut pas tout expliquer s'il manque des éléments clés...qui referont peut-être un jour surface. ¿Quien sabe? La meilleure solution : aller visiter ces sites archéologiques sur place, se faire sa propre opinion et profiter simplement de ces instants magiques face à de telles prouesses de l'homme.

Quelques liens fort instructifs

• Vidéo sur Puma punku
• La cronica del Peru, Pedro Cieza de Leon, 1540 y 1550, Chapitre 105 sur Tiwanaku
• Mission archéologique française de 1903 (pdf, fr)
• Publication Qui a enseigné aux incas l'art de la pierre (JP Protzen, 1997, pdf, en)
• Video  Tiwanaku - Forbidden History, part 1 [ang]
• http://www.bibliotecapleyades.net/esp_tiahuanaco.htm
• http://www.inmysteriam.fr/anciennes-civilisations-du-sud/les-civilisations-andines-nont-pas-pu-construire-la-cite-de-tiahuanaco.html
• Vidéo sur Tiwanaku, (Tiahuanaco. El Imperio del Sol. Jimenez Del Oso) qui évoque le pillage du site (2/3 aurait été réutilisé ailleurs), la signification possible de la décoration de la porte du soleil, sa datation (2300 av JC), etc. [esp]
• Vidéo complète et didactique sur Tiwanaku (Los secretos de Tiwanaku), la comparaison avec Rome [esp]
• Vidéo qui montre le transport de pierre sur le Titicaca, et leur façon de cultiver la terre : Historia de Bolivia (La Cultura Tiahuanacota) [esp]
• A lire : Tesoros sagrados de Tiwanaku, ISBN 978-99905-79-83-3 [esp]

Sur Sacsayhuaman :

• https://www.youtube.com/watch?v=8ib8OHNQyOE [esp]
• Vidéo sur la citadelle (pré-inca ?) de Sacsayhuaman et ses blocs de pierre jusqu'à 350 tonnes.

Sur les mégalithes :

• Atlas de tous les mégalithes du monde entier : http://www.megalithic.co.uk/
• les sites anciens : http://www.ancient.eu/Tiwanaku/
• A propos des menhirs :  http://numeriphot.chez-alice.fr/megalithe.htm

Autres :

• Coral Castle, Floride, USA : un parc fait de pierres pesant jusqu'à 30 tonnes fait par un seul homme  Edward Leedskalnin on ne sait comment, il dit avoir utilisé le magnétisme (il se trouve que des pierres de Tiwanaku et de Sacsayhuaman sont aussi magnétisées...).
• Le Sérapéum de Saqqarah avec des blocs énormes de granite (80 tonnes, officiellement des tombeau pour taureaux, des doutes subsistent) : détails de la découverte, vidéo.
• Le secret du déplacement des moaïs sur l'île de Paques (vidéo des statues qui marchent).
• Des cartes interactives des différentes civilisations ici [ang] ou là [ang].

Source des photos :

• Axum : https://www.flickr.com/photos/143032208@N03/44496934450

Les meilleurs tower defense

Quelques exemples de Tower defense qui déchirent, autres que les grands (Kingdom Rush, Cursed treasure, la série des Protector, des Bloons, ...) chacun dans leur style :

Titre	Gfx	Qualité	Lien	Remarque
Warzone tower defense	***	****	go	Beau, fluide, stratégique, difficulté bien dosée. Vagues terrestres/aériennes. Liberté totale de position des tours (pas de chemin ennemi pré-établi).
Battle Panic	**	***	go	Pas un vrai TD mais création de troupes, le héros (le curseur) permet de tuer/soigner/exploiter des ressources (bois/or)/upgrader son château. Un nombre de sprites à l'écran complètement hallucinant!
Bowmaster prelude	*	****	go	Pas tout à fait un TD dans le sens où on ne place pas des tours, on doit viser/tirer, mais on choisit ses forces. Intéressant pour les monstres (qui ont leur faille) qui apparaissent ensuite. Autre point : nos forces sont sensibles à nos tirs ;)
Ninja vs Pirates	**	**	go	Simple, mais addictif.
Shopping Cart Defense	**	**	go	Univers oiginal (lanceurs de bananes, vaches explosives, ...) bien réalisé.
Slice Fortress	*	***	go	Addictif. Pas de tour à placer/chemin à créer mais différents guerriers à placer.
Agzard Defence	*	***	go	Pixel. Univers médiéval. Forces terrestres/aériennes. Dans la même veine que Flash Circle TD (). Existe aussi en exe.
Command & control	*****	***	go	Explosions superbes, très bon TD.
Random defence	*	***	go	Addictif ! Il faut gérer en plus l'énergie disponible, et le refroidissement des tours. Monstres en fin de phases.
Vector TD	*	***	go	Graphismes minimalistes mais très beaux. Pas de possibilités d'influer le parcours ennemi. Tours pour freezer les ennemis. La suite existe : Vector TDX et Vector TD 2 (avec tour permettant de télé-transporter un ennemi).
Desktop TD	*	****	go	Addictif malgré des graphismes simples.Vagues terrestres/aériennes. Liberté totale de position des tours (pas de chemin ennemi pré-établi).
Elite Forces	**	***	go	Graphismes photo-réalistes fouillés, choix d'un héros que l'on peut déplacer (vital). Vagues terrestres/aériennes.
Expandables 2	****	*	go	For fun!
Budapest Defender	***	***	go	Positionner ses forces sur les toits de la ville pour bloquer l'ennemi. Original, simple mais addictif et très bien dosé.

Tous ces jeux sont en flash et donc jouables en ligne, certains sont aussi disponibles sur iPad.
Et aussi : Ultimate Defense 2, Xeno Tactic 2, Flash Element TD 2, le sublime Demonrift TD, Incursion 2, ... 

Compléxité des jeux de domino, belote et autres

Est-ce que dans une vie on peut rejouer plusieurs fois une même partie de domino ou de cartes (bridge, belote...) ?

Pour répondre essayons de déterminer quel est le nombre de distributions des cartes (des fiches, des pions, ...) différentes possibles entre les joueurs.

Petits rappels

Pour faire ces calculs nous avons besoin de 2 outils : les factorielles et les combinaisons.
Factorielle n - notée n! - est le produit 1*2*3*...*(n-1)*n. Par exemple 6!=1*2*3*4*5*6=.
Les combinaisons donnent le nombre de tirages différents de k éléments parmi n, et est appelé C(k, n). Il vaut n!/k!(n-k)!.
Enfin s'il y a p1 possibilités pour un choix c1, et p2 pour un choix c2, le nombre total de possibilités est leur produit p1*p2.

Application à notre jeu

Dans le cas de la distribution de n cartes entre les joueurs, le nombre de distributions différentes est donc le produit des p_j=C(k, n_j) de chaque joueur j. S'il y a 32 cartes réparties entre 4 joueurs :

• le premier joueur tire 8 cartes parmi 32 : p1=C(8, 32)
• le deuxième joueur tire 8 cartes parmi les 24 restantes : p2=C(8,24)
• le troisième tire 8 cartes parmi 16 : p3=C(8,16)
• et enfin le 4ème prend les 8 cartes restantes : p4=C(8, 8) (qui est égal à 1).

Le nombre total de combinaisons est donc :
p1 * p2 * p3 * p4 = C(8,32) * C(8,24) * C(8,16) * C(8,8) = .
À raison de 20 parties par jour il faudrait pour jouer toutes ces parties !

Conclusion

NON, il est très improbable de rejouer 2 fois une même partie !!!! Par ailleurs ceci est juste le nombre de distributions de départ ! Il faut tenir compte de ce que va jouer chaque joueur pour calculer le nombre de parties différentes, ceci sera l'objet d'un autre billet.

Autres jeux

jeu	Nb joueurs	Nb cartes par joueurs	Nb cartes	Nb distributions
Belote Bridge Domino Domino cubain (9)

Compléments

Factorielles

7! = . Essayer une autre valeur : n= n!=---
En savoir plus (wikipedia)

Combinaisons

C(4,8) : . Essayer une autre valeur : k= n= C(k,n)=---
En savoir plus (wikipedia)

Distributions

Nombres de distributions pour un jeu de belote (4 joueurs, 32 cartes):
Nombres de distributions pour un jeu de domino (4 joueurs, 28 fiches):
Nombres de distributions pour un jeu avec joueurs, et cartes/fiches C(k,n)=---

panoramap : an interactive panorama in HTML5

Intuitive panorama with 2D radar map in canvas/HTML5, it's here : panoramap. Move whether the mouse on the map and watch corresponding view, or move mouse on panoramic view to rotate and watch angle view.
It is inspired by a java applet and written from scratch in javascript and canvas, and is finally faster than original and no need to load heavy java plugin. Would be better is you have a perfect top view (no this case in this sample). You can go on Ingapirca website to see it in action.